Financement du voyage scolaire***

Pablo souhaite créer une mini-entreprise de coques de téléphone à destination des élèves de son lycée. Il veut que ce projet l’aide à financer un voyage scolaire. Le coût total de production (matériaux, outils, communication) est donné par la fonction suivante : \(C(x)=0{,}5x^2−5x+60\) avec :

• \(x \in [0\,;100]\) ;
• \(x\) est le nombre de coques produites.

Il prévoit de vendre chaque coque 20 €. Le chiffre d'affaire est modélisé par la fonction : \(V(x)=20x\).

Problématique : à partir de combien de coques vendues Pablo réalisera-t-il un bénéfice strictement supérieur à 240 € ?

1. Calculer le coût total de production de 20 coques.

2. Donner la formule du coût moyen de production par coque. Simplifier l'expression et calculer le coût moyen pour 20 coques.

3. Déterminer le coût marginal pour une production de 20 coques.

4. Comparer la valeur du coût marginal au prix de vente unitaire (20 €), puis déduire si la fabrication d’une 21^e coque est rentable pour Pablo.

5. Représenter graphiquement, à l'aide d'un outil numérique au choix, les courbes de \(C(x)\) et \(V(x)\) sur l'intervalle \([0\,;100]\).

6. Déterminer graphiquement, à partir la question 5, à partir de combien de coques vendues Pablo commence à réaliser un bénéfice.

7. On considère \(R(x)\) la fonction ``qui représente le résultat réalisé par la mini-entreprise. Montrer que \(R(x) = -0{,}5x^2+25x-60\).

8. Tracer la représentation graphique de la fonction \(R\).

9. Résoudre graphiquement l'inéquation \(R(x) > 240\).

10. Répondre à la problématique.